2 Del rigor de la ciencia a los modelos
En esta Capitulo se proporciona una perspectiva sobre la filosofía detrás del modelado matemático. Empezaremos por entender el principio de parsimonia que caracteriza a esta actividad, para luego entender los alcances de los modelos. Para al final, destacar la importancia de un punto de vista holostérico, y la subjetividad en la creación de los modelos.
2.1 Del rigor de la ciencia
Un principio recurrente en el modelado matemático es el de la parsimonia. El principio de parsimonia o el de la navaja de Ockham dice que:
Cuando se ofrecen dos o más explicaciones de un fenómeno, es preferible la explicación completa más simple; es decir, no deben multiplicarse las entidades sin necesidad.
Esta forma de razonar ha resultado útil a la hora de buscar leyes comprensibles que gobiernan los fenómenos naturales. En esta dirección, uno de mis relatos favoritos, si no el favorito que ilustra de buen modo la utilidad de este principio es “Del Rigor en la Ciencia” de Jorge Luis Borges. El cual podemos escucharlo con voz del autor haciendo clic aquí o leerlo en las siguientes lineas.
En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, estos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él.
Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas.
En esencia, este principio otorga un mayor valor de utilidad a aquellas leyes (formulaciones) que siendo más simples son capaces de enseñarnos más, generalizar más. Esta es la razón por la cual los modelos representan una simplificación de la realidad. Es el reciproco de la razón por la que los mapas muy complicados pueden resultarnos inútiles. Además, los modelos matemáticos al igual que los mapas nos permiten saber si podemos llegar y cómo podemos llegar desde un punto inicial (condiciones iniciales) a un punto final. Así la trayectoria que nos proporciona un modelo dado ciertas condiciones iniciales es la solución de como llegar a un punto, o hacia donde nos lleva cada coordenada inicial.
Sin embargo, la forma en que las personas vemos este principio puede desdibujarse hacia una escala de grises cuando consideramos la capacidad de las computadoras. Por ejemplo, cuando hablamos de redes neuronales profundas, estas pueden generalizar complejas capas de relaciones lógicas con un gran número de parámetros que pueden ser utilizados para realizar predicciones. No obstante, este aspecto se aleja del foco de este material. Aquí estudiaremos modelos fáciles de formular y comprender.
Así, cuando se construyen los modelos, se van tomando un numero mínimo de hipótesis necesarias de relaciones entre variables. Luego, estableciendo algunas asunciones o hipótesis mínimas, podemos analizar las soluciones existentes o dicho de otro modo: qué describe es lo que describe el modelo. Por lo tanto, por lógica deductiva, si las hipótesis utilizadas para construir y analizar el modelo son verdaderas —se cumplen—, las consecuencias o conclusiones derivadas deben ser verdaderas. Esto desde un punto de vista teórico, en la practica resulta ser en ultima instancia una aproximación útil de la realidad.
Una visión contemporánea y gentil sobre los modelos puede verse haciendo clic aquí.
Figure 2.1: Un ejemplo de un mapa simple en la tapa de Flatland, primera edicción.
2.2 Todos los modelos son erróneos
Si trabajarás con modelos matemáticos es muy importante que sepas esto:
“Todos los modelos son erróneos, pero algunos son útiles”
Este aforismo fue utilizado por George Box en un articulo publicado en Journal of the American Statistical Association (Box 1976).
En la misma dirección que la Sección anterior el documento publicado por (Box 1976) resaltan dos aspecto importantes para el modelado:
Parsimonia. Dado que todos los modelos son erróneos, el científico no puede obtener uno “correcto” mediante una elaboración excesiva. Por el contrario, siguiendo la navaja de Ockham, debería buscar una descripción económica de los fenómenos naturales. Así como la capacidad de idear modelos simples pero sugerentes es la firma del gran científico, la elaboración y la parametrización excesiva son a menudo la marca de la mediocridad.
Preocuparse selectivamente. Dado que todos los modelos son erróneos, el científico debe estar atento a lo que es erróneo de manera importante. No es pertinente preocuparse por los ratones cuando hay tigres abordo.
(Box 1979) repitió el aforismo como titulo de una sección donde ilustra la idea con el siguiente ejemplo:
Ahora bien, sería muy notable si cualquier sistema existente en el mundo real pudiera ser representado exactamente por cualquier modelo simple. Sin embargo, los modelos parsimoniosos elegidos astutamente a menudo proporcionan aproximaciones notablemente útiles. Por ejemplo, la ley PV = nRT que relaciona la presión P, el volumen V y la temperatura T de un gas “ideal” a través de una constante R no es exactamente cierta para ningún gas real, pero con frecuencia proporciona una aproximación útil y, además, su estructura es informativa ya que surge de una visión física del comportamiento de las moléculas de gas. Para tal modelo no hay necesidad de hacer la pregunta “¿Es cierto el modelo?” Si la “verdad” ha de ser “toda la verdad,” la respuesta debe ser “No.” La única pregunta de interés es “¿es el modelo esclarecedor y útil?”
Puede acceder a una discusión mas rica sobre este tema haciendo clic aquí.
Tanto la idea de la Parsimonia como la de Preocuparse selectivamente guarda relación con el problema del sobreajuste o subajuste de un modelo y es una cuestión que cubriremos en el Capitulo 5 y Capitulo 6.
En ultima instancia desearías que el error de un modelo en promedio sea cero, y la dispersión en los residuos, el resultado de un ruido aleatorio (ruido blanco). Esto no siempre es así, y cuando no ocurre el modelo tiene limitaciones con la precisión. Parafraseando una versión de un dicho que tomaremos prestado de Daniel T Kaplan, “Una persona con un reloj cree saber la hora exacta. Una persona con dos relojes nunca está segura.” Desde una perspectiva estadística no es necesario estar 100% seguro. Es por ello que, la hora mundial oficial se basa en un promedio de muchos relojes atómicos. Basta con poder acotar intervalos de donde podría estar con mayor probabilidad el valor que se desea conocer. Esta forma de razonar los problemas busca controlar la probabilidad de equivocarnos cuando tomamos una decisión.
Podemos pensar incluso que no hay nada mejor que los datos para una descripción precisa de un fenómeno. Sin embargo, los datos están sugestos a las limitaciones y sesgos de los instrumentos de medición. Sabemos que los datos no nos cuentan la historia completa. Por ejemplo, en el ámbito de la epidemiología, estos podrían estar limitados por nuestra capacidad de detectar casos infectados y las limitaciones de las pruebas de diagnostico. De allí que,
“El arte del pensamiento epidemiológico es sacar conclusiones a partir de datos imperfectos”
es una frase atribuida a George W. Comstock y recurrente en ámbito de la inferencia estadística.
2.3 Una visión interdiciplinaria
En la practica, construimos o elegimos un modelo para un fenómeno a partir de nuestras experiencias previas, nuestros conocimientos. De allí que, la construcción de un modelo es una actividad subjetiva que en ocasiones puede ser más precisa al integrar más puntos de vista. Por lo tanto, un modelo dice más sobre lo que entendemos de un fenómeno que sobre el fenómeno mismo.
Una forma no tan técnica pero muy precisa para ilustrar este punto de vista es “La parábola de los ciegos y el elefante.” Puedes escuchar una de sus versiones haciendo clic aqui. Una de las versiones reza lo siguiente:
Un grupo de ciegos escuchó que un animal extraño, llamado elefante, había sido traído al pueblo, pero ninguno de ellos estaba al tanto de su forma. Por curiosidad dijeron: “Debemos inspeccionarlo y saberlo al tacto de que somos capaces.” Entonces, lo buscaron y cuando lo encontraron, la primera persona, cuya mano aterrizó en el tronco, dijo: —Este ser es como una serpiente gruesa. Para otro cuya mano llegó a la oreja, parecía una especie de abanico. En cuanto a otra persona, cuya mano estaba sobre su pierna, dijo, —el elefante es un pilar, como el tronco de un árbol. El ciego que colocó su mano sobre su costado dijo —el elefante es una pared. Otro que palpó su cola, lo describió como una cuerda. El último palpó su colmillo, afirmando que el elefante es es duro, liso y como una lanza.
Figure 2.2: Representación alegorica de: La parábola de los ciegos y el elefante; y el problema de la subjetividad en los puntos de vista.
En la Figura 2.2 se ilustra una alegoría de la parábola de los ciegos y el elefante a la izquierda; y a la derecha algunas representaciones del problema de la subjetividad en los puntos de vista. Así, un matemático desde su punto de vista puede ver desde cierta perspectiva un problema, un ingeniero puede verlo desde otro angulo y alguien formado en ciencias de la vida desde otra perspectiva. Por lo tanto, al igual que la parábola de los ciegos y el elefante el mayor desafió será poder comunicarse de forma efectiva para tener una visión más completa del problema.
Así que uno debe acostumbrarse a ver una mezcla de afiliaciones de autores —en laboratorios de matemática, informática, ciencias de la vida y otras— en las contribuciones contemporáneas al cocimiento. Imagínese el tiempo que debería dedicarle un único investigador para tener un fuerte dominio en todas estas áreas para poder abordar algunos problemas que así lo requieren.